Критерий Эйзенштейна

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

Формулировка

Пусть $a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ — многочлен над факториальным кольцом R ($n>0$), и для некоторого простого $p$ выполняются следующие условия:

• $p\nmid a_{n}$ (то есть $a_{n}$ не делится на $p$),
• $p\mid a_{i}$ для любого i от 0 до n-1,
• $p^{2}\nmid a_{0}$.

Тогда многочлен $a(x)$ неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$, а F — поле рациональных чисел $\mathbb {Q}$.

Доказательство

Предположим обратное: $a(x)=f(x)g(x)$, где $f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}$ и $g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}$ многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

$a_{0}=b_{0}c_{0}$

По условию $p\mid a_{0}$ и R факториально, поэтому либо $p\mid b_{0}$ либо $p\mid c_{0}$, но не то и другое вместе ввиду того, что $p^{2}\nmid a_{0}$. Пусть $p\mid b_{0}$ и $p\nmid c_{0}$. Все коэффициенты $f(x)$ не могут делиться на $p$, так как иначе бы это было бы верно для $a(x)$. Пусть $i$ — минимальный индекс, для которого $b_{i}$ не делится на $p$. Отсюда следует:

$a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{i-1}c_{1}+...$

Так как $p\mid a_{i}$ и $p\mid b_{j}$ для всех $j<i$ то $p\mid b_{i}c_{0}$, но это невозможно, так как по условию $p\nmid c_{0}$ и $p\nmid b_{i}$. Теорема доказана.

Примеры

• Многочлен $x^{3}+2$ неприводим над $\mathbb {Q} .$
• Многочлен деления круга $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+1$ неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен $f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{p-1}+C_{p}^{1}x^{p-2}+...C_{p}^{p-1}$, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на $p$, так как $p|C_{p}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!}}$, а последний коэффициент $C_{p}^{p-1}=p$ к тому же не делится на $p^{2},$ то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
• Многочлен $x^{3}+4$ над $\mathbb {Q}$ является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это $p=2$, но 4 делится на $2^{2}$ — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.